Was ist binomischer lehrsatz?

Der binomische Lehrsatz, auch binomische Formel genannt, ist eine Formel, die die algebraische Entwicklung der Potenz einer Binomialsumme beschreibt. Er ermöglicht es, Ausdrücke der Form (a + b)^n für jede natürliche Zahl n auszurechnen, ohne die Binome wiederholt ausmultiplizieren zu müssen.

Kernpunkte:

• Die Formel: (a + b)^n = Σ (k=0 bis n) [n über k] * a^(n-k) * b^k
  • Dabei ist [n über k] der Binomialkoeffizient (siehe unten).
• Binomialkoeffizienten: Diese geben die Koeffizienten der einzelnen Terme in der Entwicklung an. Sie werden oft mit dem Symbol "n über k" (oder (n k)) notiert und können berechnet werden als n! / (k! * (n-k)!). Sie können auch mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks ermittelt werden.
• Fakultät: Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl n, bezeichnet mit n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich n (n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1).
• Anwendungen: Der binomische Lehrsatz findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, darunter:
  • Wahrscheinlichkeitsrechnung (z.B. bei Bernoulli-Experimenten)
  • Statistik
  • Kombinatorik
  • Algebra

Beispiel:

(a + b)^2 = [2 über 0] * a^2 * b^0 + [2 über 1] * a^1 * b^1 + [2 über 2] * a^0 * b^2 = a^2 + 2ab + b^2